Formas Normais: Emerson Shigueo Sugimoto, Rodrigo Cirino De Andrade, Vagner Vengue

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Referem-se as fórmulas da lógica proposicional que se encontram definidas apenas pelos conectivos: Λ(conjunção), V(disjunção) e ¬(negação). Podendo estar na Forma Normal Conjuntiva(onde o conectivo princial é a conjunção) ou Forma Normal Disjuntiva(onde o conectivo principal é a disjunção).


Tabela de conteúdo

FORMAS NORMAIS

As fórmulas normais são as fórmulas da lógica proposicional apresentadas num formato definido, ou seja, são fórmulas que são moldadas para serem exibidas em um formato definido. Sendo duas as principais formas normais: FNC – forma normal conjuntiva e a FND – forma normal disjuntiva, exemplos:

H = (¬P Λ Q) V (¬R Λ ¬Q Λ P) V (P Λ S) – forma normal disjuntiva (V).

G = (¬P V Q) Λ (¬R V ¬Q V P) Λ (P V S) – forma normal conjuntiva (Λ).


FNC ou FORMA CLAUSAL

A FNC (forma normal conjuntiva) também é chamada de forma clausal. O elemento básico da FNC é o literal, que é uma fórmula atômica, por exemplo em p Λ q Λ r, os literais são: p, q e r.
Uma cláusula é a disjunção de literais: L1 V L2 V ... L.
Exemplos:
(¬p V Y)
(¬p V Z)
(¬Y V ¬Z V p)

Uma fórmula é a conjunção de cláusulas, exemplo:
(¬p V Y) Λ (¬p V Z) Λ (¬Y V ¬Z V p)

Quando em uma fórmula a negação só pode estar aplicada aos átomos, ela é dita Forma Normal de Negação – FNN, isto significa que não pode haver uma negação de uma cláusula, a negação deve ser empurrada para os átomos, conforme a lei De Morgan.


ALGORITMO 1 - TRANSFORMAÇÃO DA FNC SEM NOVOS ÁTOMOS


Entrada: Uma fórmula B.
Saída: Uma fórmula A na FNC, B º A .
1: para todas as subfórmulas X, Y, Z de B faça
2: Redefinir “→” em termos de “V” e “¬”:
(X → Y) <=> (¬X V Y)
3: Empurrar as negações para o interior por meio das leis De
Morgan :
¬ (X V Y) <=> ¬X Λ ¬Y
¬ (X Λ Y) <=> ¬X V ¬Y
4: Eliminação da dupla negação:
¬¬ X X
5: Distributividade de V sobre Λ:
X V (Y Λ Z) <=> (X V Y) Λ (X V Z)
6: fim para
7: A fórmula A é obtida quando não há mais substituições possíveis.

Apesar de gerar uma fórmula FNC, ele pode gerar fórmulas exponencialmente maiores que a fórmula de entrada. O problema esta no passo 5 da distributividade, que causa a duplicação da subfórmula X, que por sua vez pode ser no formato (X1 Λ X2), que poderá gerar uma nova duplicação.

ALGORITIMO 2 - TRANSFORMAÇÃO LINEAR PARA FNC COM ADIÇÃO DE NOVOS ÁTOMOS


Entrada: Uma fórmula B.
Saída: Uma fórmula A na FNC, B º A.
1: para todas as subfórmulas X, Y, Z de B faça
2: Redefinir “ → ” em termos de “V” e “¬”:
(X → Y) <=> (¬X V Y)
3: Empurrar as negações para o interior por meio das leis De Morgan:
¬ (X V Y) <=> ¬X Λ ¬Y
¬ (X Λ Y) <=> ¬X V ¬Y
4: Eliminação da dupla negação:
¬¬ X <=> X
5: Inserção de novo átomo p:
X V (Y Λ Z) <=> (X V p) Λ (¬p V Y) Λ (¬p V Z) Λ (¬Y V ¬Z V p)
6: fim para
7: A fórmula A é obtida quando não há mais substituições possíveis.


No ALGORITMO 2, foi introduzido um novo símbolo atômico p, de forma que p ↔ (Y Λ Z), ou seja, p têm a mesma valoração de (Y Λ Z), desmembrando ↔ em dois:
(p → (Y Λ Z)) Λ (Y Λ Z → p).
Eliminando “→”, aplicando a redefinição de “→” em termos de “V” e “¬”(X → Y) <=> (¬X V Y):
(¬p V (Y Λ Z)) Λ (¬(Y Λ Z) V p).
Em seguida por meio das leis De Morgan, empurramos a negação adentro (convertendo V em Λ):
(¬p V (Y Λ Z)) Λ (¬Y V ¬Z V p)
O segundo elemento já esta já está no formato clausal, no primeiro elemento não há dupla negação, e será aplicada a distribuição de V sobre Λ, obtendo-se:
(¬p V Y) Λ (¬p V Z) Λ (¬Y V ¬Z V p)
A vantagem das fórmulas clausais está na representação e solução de problemas envolvendo fórmulas proposicionais, pois para se satisfazer uma fórmula do formato clausal, basta satisfazer um literal em cada uma das suas cláusulas, e para falsificar uma fórmula no formato clausal, basta falsificar todos os literais de uma única cláusula, ou seja, falsificar uma cláusula.


CLÁUSULAS DE HORN

As Cláusulas de Horn são cláusulas (conjunto de literais) na forma disjuntiva com no máximo um literal positivo, exemplo:
¬ p V ¬ q V. . . V r
Estas cláusulas podem ser divididas em três formas: Fatos,
Regras e Consulta ou Restrições.
Fatos são cláusulas com apenas um literal positivo e são usadas para afirmar que um literal é válido, por exemplo p, q e r.
Regras são cláusulas com exatamente um literal positivo, exemplo:
(¬ p V ¬ q V r)
Ou, de acordo com as equivalências notáveis:
¬ (p Λ . . . Λ q) V r, (lei de De Morgan).
(p Λ . . . Λ q) → r (definição de → em termos de V e ¬)
Na qual, p Λ . . . Λ q é chamado de corpo da regra e r é chamado de cabeça da regra.
Consultas ou Restrições são cláusulas com apenas literais negativos, exemplo:
(¬ p V ¬ q V ¬ r V ¬s)


FÓRMULAS DE HORN


Fórmulas de Horn são um conjunto de cláusulas de Horn na forma normal conjuntiva, exemplo:
(¬ p V q) Λ (r V ¬ s) Λ (a V ¬a) Λ (a V ¬b)
Uma das propriedades das cláusulas de Horn é a respeito do princípio da resolução: duas cláusulas de Horn regras inferem outra cláusula de Horn e uma cláusula do tipo consulta ou restrição com uma cláusula regra infere uma cláusula também do tipo consulta ou restrição.


As cláusulas de Horn receberam este nome em homenagem ao lógico matemático Alfred Horn, que em 1951 publicou no jornal Journal of Symbolic Logic o artigo “On sentences which are true of direct unions of algebras”. Alfred Horn foi o primeiro a chamar a atenção para estes tipos de cláusulas, que hoje, através de suas propriedades, com o princípio da resolução dão base à programação lógica e a linguagem de programação Prolog.


FORMA NORMAL DISJUNTIVA (FND)

Na lógica booleana, uma forma normal disjuntiva (FND) é uma normalização de uma fórmula lógica no qual temos uma disjunção de conjunções de literais. Também chamada cláusula dual. Uma conjunção de literais disjuntivos tem a forma de:
(X)v(Y)v...v(Z)

Podemos encontrar na forma de polinômios, em que a conjunção é representada pela multiplicação (*), e a disjunção pela adição (+) e a negação por uma barra sobre o átomo (Ū) por exemplo a fórmula ( ¬p1Λ p2 ) V ( p1Λ¬p2 ) pode ser expresso em notação polinomial da seguinte forma:


Ū1 U2 + Ū1 U2

Toda fórmula proposicional pode ser transformada em uma forma do tipo disjuntiva para isso podemos usar meios como a lei da Dupla Negação, as leis de De Morgan e a distributividade de átomos.

Uma fórmula disjuntiva só é verdadeira quando ao menos uma de suas subfórmulas é verdadeira, exemplos:
v (P) = 1 <=> v (P V Q) = 1
v (Q) = 1 <=> v (P V Q) = 1
Repare que a disjunção também é comutativa, ou seja que pode haver troca na ordem dos operadores sem perda do resultado.
Assim, se P significa "Fulano estuda filosofia" e Q significa "Fulano estuda matemática", P V Q pode ser interpretada como "Fulano estuda filosofia ou matemática"; o que só é falso se nem P nem Q forem verdadeiras.
Com a disjunção é preciso tomar muito cuidado tanto na interpretação de fórmulas quanto na formalização de proposições, pois na linguagem natural muitas vezes os disjuntos são excludentes.
Por exemplo: "Uma moeda ao ser lançada resulta em cara ou coroa". Veja essas proposições:


Proposição I - «Gosta de lógica e/ou gosta de método» ( L V M )
Proposição E - «Ou gosta de lógica ou gosta de métodos» ( L VV M )

Ambas proposições são resultado da disjunção das duas proposições simples:
«Gosta de Lógica» - proposição L
«Gosta de Métodos» - proposição M

A proposição I diz que é possível gostar apenas de lógica ou de métodos, mas também se pode gostar das duas disciplinas.

A proposição E diz que se gosta de lógica, então não gosta de métodos. Mas, se for o caso que goste de métodos, então não gosta de lógica. As duas proposições M e L não são compatíveis uma com a outra; isto é, a verdade de uma significa a falsidade da outra.

Logo sabemos que há:


A proposição I é a que podemos chamar de disjunção inclusiva (V).
A proposição E é a que podemos chamar de disjunção exclusiva (VV)

Finalizando (A VV B) só é V se, e somente se, A e B têm valores-verdade diferentes.
Exemplos de forma normal disjuntiva:
A V B
A
(A Λ B) V C
(A Λ ¬B Λ ¬C) V (¬D Λ E Λ F)
(A Λ B Λ ¬C) V (B Λ ¬D Λ ¬E) V (A Λ F)

Todavia, as seguintes fórmulas não estão na FND:
¬(A V B) — NÃO é o operador mais extremo
A V (B Λ (C V D)) — um OU está aninhado com um E
De acordo com o que vemos nas leis de De Morgan, numa expressão da forma conjuntiva temos:
¬(P Λ Q) <=> (¬P V ¬Q)

Podemos aferir o contrário pela bi-implicação (↔), obtendo uma formula disjuntiva:
(¬P V ¬Q) <=> ¬(P Λ Q)


ALGORITIMO 3 - TRANSFORMAÇÃO NA FND SEM ADIÇÃO DE NOVOS ÁTOMOS


Entrada: Uma fórmula B.
Saída: Uma fórmula A na FND, B ≡ A.
1: para todas as subfórmulas X, Y, Z de B faça
2: Redefinir “→” em termos de “V” e “¬”:
(X → Y) <=> (¬X V Y)
3: Empurrar as negações para o interior por meio das leis De Morgan:
¬ (X V Y) <=> ¬X Λ ¬Y
¬ (X Λ Y) <=> ¬X V ¬Y
4: Eliminação da dupla negação:
¬¬ X X
5: distributividade de Λ sobre V :
X Λ ( Y V Z ) <=> ( X Λ Y ) V ( X Λ Z)
6: fim para
7: A fórmula A é obtida quando não há mais substituições possíveis.
Repare no conectivo de disjunção V:
X Λ ( Y V Z ) <=> ( X Λ Y ) V ( X Λ Z)


Aqui vemos o mesmo problema na FNC, que é o aumento proporcional da fórmula, mesmo sem adicionarmos novos átomos, ela aumenta exponencialmente com a distributividade dos átomos em novas cláusulas fora isso difere da FNC na mudança do conectivo, como vemos na regra número 5.

REFERÊNCIAS

  • DIAS, Carlos Magno Corrêa. Lógica Matemática: Introdução ao Cálculo Proposicional. Curitiba, C. M. Corrêa Dias, 1999.
  • SOUZA, João Nunes de. Lógica para ciência da Computação: Fundamentos de linguagem, semântica e sistemas de dedução. Rio de Janeiro: Campus, 2002.
  • SILVA, Flávio Soares Corrêa da; FINGER, Marcelo; MELO, Ana Cristina Vieira de. Lógica para computação. São Paulo: Editora Thompson, 2006. 234 p. ISBN 85-221-0517-0
  • WIKIPÉDIA. Enciclopédia multilíngüe on-line livre. Teoremas De Morgan.

Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Leis_De_Morgan>[3] Acesso em 28.mar.2009.

  • WIKIPÉDIA. Enciclopédia multilíngüe on-line livre. Teoremas De Morgan.

Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Cl%C3%A1usula_de_Horn>[4] Acesso em 04.abr.2009.

  • WIKIPÉDIA. Enciclopédia multilíngüe on-line livre. Teoremas De Morgan.

Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Cl%C3%A1usula_de_Horn>[5] Acesso em 04.abr.2009.

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