Axiomatização: Lucas Campos Silva, Marcelo Butzke Leopoldino, Isaac Toyoshi Takiguchi Jr.
Um axioma é um uma hipótese inicial de qual outros enunciados são logicamente derivados, permitindo a construção de um sistema formal. Eles não podem ser derivados de princípios de dedução e nem são demonstráveis por derivações formais, simplesmente porque eles são hipóteses formais. Isto é, não há mais nada a partir do que eles seguem logicamente, em caso contrário eles seriam chamados de teoremas. Dependendo do contexto, “axioma”, “postulado” e “hipótese” são usados como sinônimos.
Etimologia
A palavra "axioma" vem do grego αξιωμα (axioma), que significa "considerado válido ou adequado" ou "considerado auto-evidente". A palavra é derivada de αξιοειν (axioein), que significa "considerar válido", que por sua vez é derivada de αξιος (axios), que significa "válido". Os antigos filósofos gregos viam um axioma como algo que pode ser considerado verdadeiro sem que fosse necessária qualquer demonstração.
Histórico
A primeira grande conquista para a sistematização da matemática foi a obra Elementos de Euclides de Alexandria, a apresentação de 11 postulados dentre eles o 5º postulado que dizia: “Se uma reta cortando duas retas faz os ângulos internos de um mesmo lado menores que dois ângulos retos, então as duas retas, se prolongadas indefinidamente, encontrar-se-ão do mesmo lado em que os ângulos são menores que dois ângulos retos.” Este quinto postulado é de grande importância a matemática pois diversos matemáticos tentaram através do tempo provar que este era derivado dos demais, com isso conseguiram “derivar” a fórmula para diversas outras expressões, por exemplo a teoria das paralelas e a teoria dos ângulos dos triângulos. Em 1900, o matemático David Hilbert esclareceu que o rigor matemático poderia se estender a diversas outras teorias de qualquer ramo, pois estas partem sempre de estruturas dedutivas baseadas em premissas muito simples (vagas e intuitivas) que se relacionam de alguma forma permitindo a dedução de consequências e teoremas.
Euclides
Linguagem formal e informal
A linguagem informal é, por exemplo, a língua usada para escrever este artigo, uma linguagem usada normalmente por todos. Já quanto uma linguagem formal ela é baseada em uma teoria formal e tem todos seus aspectos bem definidos.
Teoria formal
Uma teoria formal Τ, é formada por 7 elementos:
1. Um conjunto de símbolos de Τ.
2. Um conjunto de expressões, sequências finitas dos símbolos de Τ.
3. Um conjunto de expressões significativas, chamadas de fórmulas bem formadas.
4. Um procedimento para diferenciarmos estas fórmulas bem formadas.
5. Um conjunto de axiomas de Τ.
6. Um conjunto de relações entre fórmulas bem formadas.
7. Um procedimento para definir se uma sequência de fórmulas bem formadas satisfaz uma relação de Τ. Uma linguagem formal baseada na teoria Τ é composta dos elementos citados acima, exceto pelo conjunto de axiomas e pelo conjunto das regras de inferência, ou os elementos 1, 2, 3 e 4.
Obs.: Inferência é o processo pela qual se chega a uma dedução, firmada em base de uma ou outras mais fórmulas bem formadas aceitas como ponto de partida do processo, as regras de inferência são fundamentais no processo lógico-dedutivo de teorias formais, permitindo a dedução de teoremas.
Teoria Axiomática
Uma teoria axiomática é uma teoria formal que inclui um processo para diferenciar fórmulas bem formadas de axiomas. Ao se derivar os axiomas, ou as fórmulas bem formadas que são as premissas de uma teoria formal Τ obtemos conseqüências de uma teoria e também os seus, tudo isso obtido pelas regras de inferências definidas previamente.
Para que axiomas?
Sintetização do método científico
Um dos exemplos de sua utilidade é a teoria da gravitação que permite descrever a simples queda de uma maçã até a órbita lunar, que foi constatada sem quaisquer precedências científicas. O processo de axiomatização sintetiza parte significativa do método científico, onde as teorias sempre partem de um mínimo pressuposto permitindo várias inferências lógicas.
Economia de pensamentos
A axiomatização também permite a economia de pensamentos, por exemplo: A teoria de distribuições requer conhecimento de análise funcional (matéria de nível de pós-graduação), porém José Sebastião e Silva elaborou uma axiomatização para a teoria que a tornou “simples”, para pessoas com conhecimento em cálculo diferencial e integral.
Poder qualificador de discurso
O método axiomático tem o poder de qualificar discurso, ou seja, questões de caráter filosófico em ciência podem ser respondidas objetivamente. Questões sobre eliminabilidade de conceitos primitivos, questões sobre consistência e outras, só podem ser discutidas objetivamente se uma formulação precisa seja dada à teoria em discussão, ou seja, um consenso da teoria para todos falarem sobre a mesma coisa.
Instrumento de pesquisa em matemática
Axiomatização é também excelente instrumento de pesquisa em matemática. O teorema de Tychonoff, um importante e curioso resultado sobre os espaços topológicos compactos, é equivalente ao Axioma da Escolha, na teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel. Ou seja, sem o Axioma da Escolha, não há teorema de Tychonoff. Isto está diretamente ligado ao método axiomático.
Limitações
O método axiomático possui também algumas limitações no campo didático, sendo preferível um ponto de vista genético para estes fins. Um exemplo é o assunto cálculo diferencial e integral que usualmente possui uma abordagem genética, na qual se pressupõe o conhecimento de certos assuntos prévios sem qualquer uso explícito de axiomas. Embora o método axiomático seja empregado em topologia, álgebra, álgebra linear, análise matemática etc.
Foi com o trabalho de David Hilbert em geometria, no final do século XIX , que o método axiomático ganhou força inspirando inúmeros matemáticos a apoiarem uma escola matemática conhecida como formalismo e a buscarem uma fundamentação axiomática para toda a matemática. Mas em 1931, Kurt Gödel, um lógico matemático, provou um metateorema no qual toda axiomática consistente da aritmética usual não é completa e que certas metas dos formalistas eram impossíveis da forma como Hilbert e seus discípulos sonhavam.
Precisamos de axiomas?
Depende do interesse de quem faz ciência. Um físico profissional pode fazer descobertas extremamente importantes sem jamais saber diferenciar um axioma de um teorema qualquer. Mas para responder questões sobre fundamentos lógico-matemáticos de alguma disciplina científica, o método axiomático afigura-se indispensável para o cientista.
A metamatemática que o método axiomático tem encontrado aplicações na matemática, física, biologia, economia e mesmo em outras áreas do conhecimento. A necessidade ou não de axiomas faz parte do processo criativo da atividade científica, cabe ao cientista aventurar-se ou não nesse processo.
Referências
SANT'ANNA, Adonai S. O que é um Axioma. Barueri: Manole, 2003.
WIKIPEDIA. Axioma. Disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Axioma. Acesso em: 24 mar. 2009.
