A lógica C1
C1 é historicamente importante porque foi a primeira lógica paraconsistente a ser apresentada por Newton C. A. da Costa [1] em 1963.
- O operador de consistência (◦) foi introduzido.
- O significado de ◦A é “A é consistente”.
- O conectivo consistência "◦" não é um conectivo primitivo,
mas uma abreviação:
◦A = ¬(A ∧ ¬A)
Axiomas de C1:
- (Ax1) α → (β → α)
- (Ax2) (α → β) → ((α → (β → γ)) → (α → γ))
- (Ax3) α → (β → (α ∧ β))
- (Ax4) (α∧ β) → α
- (Ax5) (α ∧ β) → β
- (Ax6) α → (α ∨ β)
- (Ax7) β → (α ∨ β)
- (Ax8) (α → γ) → ((β → γ) → ((α ∨ β) → γ))
- (Ax9) α ∨ (α → β)
- (Ax10) α ∨ ¬α
- (Ax11) ¬¬α → α
- (bc1) ◦α → (α → (¬α → β))
- (ca1) (◦α ∧ ◦β) → ◦(α ∧ β)
- (ca2) (◦α ∧ ◦β) → ◦(α ∨ β)
- (ca3) (◦α ∧ ◦β) → ◦(α → β)
Regra de inferência (MP:)
| α, α → β |
| β |
Para obter a lógica proposicional clássica (CPL) de C1, removem-se os ◦-axiomas: (bc1), (ca1), (ca2) e (ca3) e adiciona-se a lei da explosão:
(exp) α → (¬α → β)
|
“Princípio da Explosão”, ou Regra de Duns Scotus: uma contradição implica qualquer proposição. Dito de modo mais preciso, se em um sistema dedutivo S fundamentado na lógica clássica derivarmos duas proposições contraditórias (uma sendo a negação da outra), então toda fórmula (expressão bem formada) da linguagem de S resulta ser teorema de S. Neste caso, diz-se que S é trivial. |
Valoração para C1:
- v(α1 ∧ α2 ) = 1 ⇐⇒ v(α1 ) = 1 and v(α2) = 1;
- v(α1 ∨ α2 ) = 1 ⇐⇒ v(α1 ) = 1 or v(α2) = 1;
- v(α1 → α2 ) = 1 ⇐⇒ v(α1 ) = 0 or v(α2) = 1;
- v(¬α) = 0 ⇒ v(α) = 1;
- v(¬¬α) = 1 ⇒ v(α) = 1;
- v(◦α) = 1 ⇒ v(α) = 0 or v (¬α) = 0;
- v(◦(α Ø β)) = 0 ⇒ v(◦α) = 0 or v(◦β) = 0, para Ø ∈ {∧, ∨, →};
Regras de implementação:
| FA → B | (F→) | TA → B | (T→1) | TA → B | (T→2) |
| TA | TA | FB | |||
| FB | TB | FA | |||
| TA ∧ B | (T∧) | FA ∧ B | (F∧1) | FA ∧ B | (F∧2) |
| TA | TA | TB | |||
| TB | FB | FA | |||
| FA ∨ B | (F∨) | TA ∨ B | (T∨1) | TA ∨ B | (T∨2) |
| FA | FA | FB | |||
| FB | TB | TA | |||
| /\ | (PB) | F ¬A | (F¬) | T ¬¬A | (T¬¬) |
| TA FA | TA | TA | |||
| (T ◦¬) | T ¬(A Ø B) | (T ¬Ø1) | T ¬(A Ø B) | (T ¬Ø2) | |
| T ◦A | T A Ø B | T A Ø B | |||
| T ¬A | T ◦A | T ◦B | |||
| FA | F ◦B | F ◦A | |||
Regras diferentes
| (F ◦Ø1) --> | T ¬(A Ø B) | (T ¬Ø1) | |
| F ◦(A Ø B) | T A Ø B | ||
| T ◦A | T ◦A | ||
| F ◦B | F ◦B |
Onde F ◦(A Ø B) = F ¬((A Ø B) ∧ ¬(A Ø B))
Usando (F¬): T (A Ø B) ∧ ¬(A Ø B)
Usando (T∧): T A Ø B e T ¬(A Ø B)
O mesmo processo para as 2 regras: (F ◦Ø1) e (F ◦Ø2)
Referências:
- CARNIELLI, Walter; CONIGLIO, Marcelo E.; MARCOS, João. Logics of Formal Inconsistency. 2. ed. São Paulo: Springer-Verlag, 2007 p. 15-107.
- KRAUSE, Décio. A Lógica Paraconsistente. Disponível em: <http://www.cfh.ufsc.br/~dkrause/LogicaI/ParaconsistenteSA.htm>. Acesso em 09 set. 2009.
- CARNIELLI, Walter;CONIGLIO, MARCELO E.;MARCOS, João. Logics of formal inconsistency. Disponível em: <ftp://logica.cle.unicamp.br/pub/e-prints/vol.5,n.1,2005-revised.pdf>. Acesso em 09 set. 2009.
- NETO, ADOLFO G. S. S. ; KAESTNER, CELSO A. A. FINGER, Marcelo. A KE tableau system for C1. Disponível em: <http://www.dainf.ct.utfpr.edu.br/~adolfo/publications/2009/Slides_CLEAIPS_2009_NetoKaestnerFinger.pdf>. Acesso em 10 set. 2009.
