PereiraOliveiraCoelho2008Projeto

INTRODUÇÃO

O projeto em questão visa utilizar o arduino como gerador de freqüência para o estudo do efeito Doppler e, conforme avanços, utilizar o aparato para fazer um oscilóscópio e um gerador de função. O arduino possui uma imensa gama de utilidades e uma delas é a geração de freqüências. Uma freqüência gerada pode ser transformada em som atráves de um auto falante e capturada através de um microfone. O efeito Doppler é um fenômeno físico que se baseia essencialmente na variação de distância entre a fonte geradora do som e a fonte receptora desse som. Podemos juntar a função de geração do arduino com o estudo do efeito Doppler fazendo assim experiências e aparatos novos para provar empiricamente o Efeito Doppler, pois sabemos que a ocorrência de tais experiências em laboratórios, é limitada.

Tipos de Onda

Onda Eletromagnética

Esta onda é formada por um campo elétrico e um campo magnético perpendiculares entre si. Na figura abaixo está ilustrado essa onde, segundo o site http://www.fgel.uerj.br/labgis/gis_atualizada/sensoriamento/onda.jpg

Alguns exemplos desse tipo de ondas são as ondas de rádio, as ondas de radares e os raios-x. Cada uma se caracteriza pelo comprimento de onda e pelo processo pelas quais são geradas.Segundo o site http://maxwell.lambda.ele.puc-rio.br O espectro eletromagnético de radiação cobre uma extensa faixa de comprimento de onda, que varia de comprimentos extremamente pequenos, como, por exemplo, os raios-γ com cerca de 10-12m (emitidos por materiais radioativos) até comprimentos de onda muito grandes, como ondas de rádio com cerca de 105m.Cada cor e radiação possui seu respectivo comprimento de onda, por exemplo a cor violeta possui um comprimento de onda de 0,40μm. Essas ondas se propagam no vácuo mas nem sempre foi pensado assim. Segundo a revista Brasileira de Ensino de Física antigamente se pensava que que também o vácuo contivesse um tipo de matéria especial capaz de mediar a propagação das ondas de luz. No primeiro volume do excelente compêndio Lehrbuch der Physik de Chwolson, publicado em 1902, encontra-se na Introdução a frase sobre o éter: "A probabilidade da hipótese sobre a existência deste agente avizinha-se extraordinariamente de uma certeza".

Onda Mecânica

Essas ondas necessitam de um meio para se propagar. Um exemplo de onda mecânica é a onde sonora, a qual pode se propagar nos meios sólidos, líquidos ou gases. As ondas sonoras são amplamente utilizadas para vários fins tais como os sonares de submarinos ou para a ultrasonografia de mulheres grávidas. As ondas sonoras possuem uma faixa audível para nos seres humanos entre aproximadamente 20Hk até 20 kHz. As ondas num sólido podem ser classificadas como ondas longitudinais ou transversais. As definições segundo Halliday seguem abaixo.

Onda Longitudinal

Uma onda é dita longitudinal quando as oscilações são paralelas à direção de propagação. Estas ondas são vistas nos gases e líquidos.

Onda Transversal

Uma onda é dita transversal quando as oscilações dos pequenos elementos do sólido são perpendiculares à direção de propagação.

Comprimento de onda e frequência

Em geral as ondas senoidais podem ser representadas por uma funçaõ de seno ou cosseno. A forma de onda é definida através de uma função do tipo y= h(x,t) na qual y, o deslocamento transversal de qualquer elemento da corda, é uma função h da posição x deste elemento ao longo da corda e do tempo t. Suponha que uma onda transversal numa corda se propaga ao longo do eixo x. A onda pode ter muitas formas mas o fundamental é o seu comprimento de onda λ e a sua frequência f. O comprimento de onda é a distância entre dois vales ou cristas consecutivas. A frequência da onda segundo Halliday é aquela em que qualquer elemento da corda repete sua oscilação transversal,devido a passagem da onda.Escrevos então y na forma de:

y(x,t) = ymsen(kx-ωt)

Onde: ym = amplitude máxima da onda k = número de onda

                     ω = freqüência angular

As outras formas de onda como a quadrada podem ser formada por soma de ondas senoidais.

Número de onda e freqüência angular

Escolhendo t=0 a equação do deslocamento transversal da corda ficaria no forma de

y(x,0)=ymsenkx

<math>y(x,0) = ym \, sin(kx) </math>

Nós definimos o comprimento de onda λ como a distância após a qual o padrão da onda começa a se repetir.Por definição, o deslocamento y é o mesmo nos dois extremos deste comprimento de onda; isto é, em x=1 e x=x1+λ. Com isto a equação anterior se torna

y=ymsen(kx1+kλ)

A função seno se repete quando seu ângulo, também chamado de argumento, é accrescido de 2π radianos, assim a equação anterior será verdadeira se kλ=2π logo

k=2π/λ

Chamamos de k o numero de onda angular da onda cuja unidade no SI é radiano por metro. O número de onda, simbolizada por k, é definido como 1/λ e sua relação com k é

k=k/2π

O número de onda k é o número de ondas por unidades de comprimento do padrão ondulatório; sua unidade no SI é o inverso do metro.

Freqüência e Período

Se escolhermos x=0, em outras palavras a origem do movimento ondulatório, veriamos que o movimento de um elemento da corda é de subida e de descida,sendo descrito por

y(0,t)=-senωt

Aqui se fez o uso da propriedade trgonométrica que diz que sen(-a)=-sena. Definimos o período T de uma onda como o intervalo de tempo após o qual o movimento de um elemento oscilante da corda em qualquer posição fixa x começa a se repetir.Aplicando a equação acima a cada extremo deste intervalo de tempo e igualanod os resultados, temos

y=-ymsen(ωt+ωT)

Isto só pode ser verdadeiro se ωT=2π, logo

ω=2π/T

Chamamos w de frequência angular da onda e sua unidade no SI é o radiano por segundo.A frequência da onda é definida como o inverso do periodo logo está relacionada a ω por

ω=2πf

A frequência f é o nímero de oscilações por unidade de tempo realizadas por um dado ponto da corda, à medida que a onda passa por ele. A unidade SI da frequência é o Hz.

Velocidade escalar de uma onda

Se a onda estiver se propagando na direção positiva do eixo x, e todo o padrão da onda se desloca nesta direção, de uma distância Δx, um intervalo de tempo Δt a relação Δx/Δt é a velocidade de onda v. Afim de encontrarmos o valor da velocidade vamos focalizar num ponto de deslocamento máximo vertical, ou seja uma crista.Da equação do deslocamento y vemso que um deslocamento é definido ao associarmos um valor fixo à quantidade kx-ωt chamado de fase da onda. Se considerarmos a fase de onda constante definimos um deslocamento transversal constante y, tal como aquele para a crista. Para encontrar a velocidade escalar v da onda,tomamos a derivada em relação a tda equação da fase de onda, obtendo

dx/dt=v=ω/k

Este resultado constante e positivo confirma que a onda está se propagando na direção crescente de x.Usando a k=2π/λ e ω=2π/T podemos escrever para velocidade escalar da onda

v=λf

Assim para uma onda se propagando na direção positiva de x vale a equação

y(x,t)=ymsen(kx-ωt)

Para uma onda se propagando na direção negativa de x vale a equação

y(x,t)=ymsen(kx+ωt)

Energia cinética e potencial de uma onda

Suponha um elemento de corda de massa dm, oscilando transversalmente num movimento harmônico simples,enquanto a onda passa por ele. Quando a posição desse elemento for y=0, sua energia cinética é maxima. Quando o elemento está em uma crista ou em um vale sua energia cinética é zero. Para haver transmissão de uma onda senoidal ao longo de uma corda inicialmente em repouso, a onda deve necessariamente esticá-la. À medida que o elemento da corda de comprimento dx oscila transversalmente, o seu comprimento deve aumentar e diminuir periodicamente, para que o elemento da corda assuma uam forma de onda senoidal. A energia potencial está associada com essas alterações de comprimento. Quando o elemento da corda está em uma crista ou vale, seu comprimento tem o valor de repouso dx e a energia potencial armazenada é zero.Entretanto, quando o elemento está passando pela posição y=0, está esticado ao máximo e sua energia potencial armazenada atinge então seu maior valor.O elemento oscilante da corda atinge assim os máximos de energia cinética e potencial em y=0.

O princípio da Superposição

É freqüente acontecer de duas ou mais ondas passarem,simultaneamente, por uma mesma região. Quando ouvimos um concerto, por exemplo, sons provenientes de muitos instrumentos chegam simultaneamente aos nossos ouvidos. Suponha que duas ondas se propagam simultaneamente ao longo da mesma corda esticada. Sejam y1(x,t) e y2(x,t) os deslocamentos que a corda sofrefira se cada onda agisse sozinha. O deslocamento da corda, quando ambas as ondas atuam, é então

y(x,t)=y1(x,t) + y2(x,t)

Sendo no caso, uam soma algébrica. Esse é um exemplo do princípio da superposição. Ele diz que, quando diversos efeitos ocorrem simultaneamente, o efeito resultante é a soma dos efeitos individuais. Para ondas numa corda esticada isso quer dizer que o deslocamento resultante da corda, em qualquer ponto ao longo de seu comprimento, corresponde à soma dos deslocamentos que as ondas teriam produzido individualmente. Esse resultado é válido enquanto as amplitudes das ondas não forem muito grandes, o que supomos aqui.Cada pulso se move através do outro, como se o outro não estivesse presente.

Interferência de Ondas

Suponha que mandemos duas ondas senoidais, de igual comprimento de onda e amplitudo, na mesma direção ao longo de uma corda esticada. O princípio de superposição se aplica. A perturbação resultante depende de quanto as ondas estão em fase uma em relação à outra. Se estiverem exatamente em fase, elas se somarão, dobrando o deslocamento causado por casa onda agindo individualmente. Se estiverem exatamente fora de fase, elas se cancelarão totalmente, não produzindo nenhuma perturbação. Chamamos de interferência este fenômeno de cancelamento e de reforço; ele se aplica a ondas de todos os tipos. Duas ondas dadas por

y1(x,t)=ymsen(kx-ωt +φ)

e

y2(x,t)=ymsen(kx-ωt)

Elas se propagam ao longo da mesma corda esticada.Estas ondas têm a mesma frquência angular ω, o mesmo número de onda angular k e a maesma amplitude ym. Elas se propagam na mesma direção, a de x crescente, coma mesma velocidade dada por v=λf. Elas diferem somente por um angulo constante φ, que é chamado de diferença de fase. Do principio da superposição, a onda combinada tem deslocamento de

y(x,t)=ym[sen(kx-ωt +φ)+ sen(kx-ωt)]

Sabemos da trigonometria que podemos escrever a soma dos senos de dois ângulos, como

sena+senb=2sen0.5(a+b)cos0.5(a-b)

Aplicando está relação na onda combinada tem-se

y(x,t)=[ymcos0.5φ0.5sen(kx-ωt +0.5φ)]

A onda resultante é também uma onda senoidal, diferindo das ondas originais somente pela sua fase inicial, que éφ/2, e a sua amplitude, que é a quantidade entre colchetes, isto é, 2ymcos(φ/2). Se φ=0, as dias ondas estão exatamente em fase. Então a equação se reduz a

y(x,t)=2ymsen(kx-ωt)

A interferência é totalmente construtiva e a onda resultante difere das duas ondas originais somente por ter o dobro de suas amplitudes. Se φ=π rad, as duas ondas estão exatamente em oposição de fase.Então cos(φ/2) se reduz a cosπ/2=0, e a amplitude da onda resultante é zero.Temos , então, para todos os valores de x e t.

y(x,t)=0

Assim, quando as componentes de onda estão extamente em oposição de fase, sua interferência é totalmente destrutiva.As suas componentes de onda quse- mas não completamente- se cancelam.

Velocidade de uma onda Mecânica

A velocidade de uma onda mecânica, seja ela longitudinal ou transversal, depende das propriedades inerciais e elásticas do meio.Quando uam onda sonora se propaga através do ar ou de qualquer outro gás, a energia potencial é associada a compressão e rarefação periódicas de pequenos elementos do volume do gás em questão. A propriedade a qual diz quanto o gás comprime ou rarefaz seu volume, quando a pressão sobre ele aumenta ou diminui, é o modo de elasticidade volumar B que é definido pela equação:

B=-Δp/(Δ(V)/V)

Onde:Δp= variação de pressão (ΔV/V)=Variação fracional produzida pela variaçãod e pressão Δp

A unidade SI(Sistema internacional) de pressão é newton por metro quadrado, que recebeu o nome especial de Pascal(Pa). Com isso podemos perceber que a unidade do modo de elasticidade volumar também é Pascal.Os sinais de Δv e (ΔV/V) são semrpe opostos pois quando comprimimos um gás aumentamos a pressão(Δp positivo) mas diminuimos o seu volume(ΔV negativo) e vice-versa.

Efeito Doppler

Em 1842, em sua obra entitulada Sobre as Cores da Luz Emitida pelas Estrelas Duplas (Über das farbige Licht der Doppelsterne), o austríaco Johann Christian Andreas Doppler foi quem primeiramente descreveu o que se denomina atualmente, em sua homenagem, efeito Doppler; trata-se de uma característica observada nas ondas quando emitidas ou refletidas por um objeto que está em movimento em relação ao observador. A primeira comprovação foi obtida pelo cientista alemão Christoph Buys Ballot, em 1845, em um experimento com ondas sonoras, no qual Ballot se utilizava de uma locomotiva que puxava um carro conversível, com várias trombetas. No estudo do eletromagnetismo, esse mesmo fenômeno foi descoberto de maneira independente, em 1848, pelo francês Hippolyte Fizeau. Por esse motivo, o efeito Doppler também é conhecido por efeito Doppler-Fizeau. Segundo Rafael Antonio da Silva Rosa, do Instituto Tecnológico da Aeronâutica(ITA) e Marcelo Magalhães Fares Saba do Intituto Nacional de Pesquisas Espaciais(INPE) o Efeito Doppler é a percepção de uma freqüência diferente da emitida pela fonte de ondas em virtude do movimento relativo de aproximação ou afastamento entre o receptor e a fonte. Quando esse movimento é de aproximação, o receptor percebe uma frequência maior que a verdadeira frequência emitida pela fonte. Se o movimento é de afastamento a frequência percebida pelo receptor é menor do que a verdadeira frequência emitida pela fonte. Um exemplo prático é o caso de uma ambulância com sirene ligada que passe por um observador. Ao se aproximar, o som é mais agudo e ao se afastar, o som é mais grave. De modo análogo, ao trafegar em uma estrada, o ruído do motor de um automóvel que vem em sentido contrário apresenta-se mais agudo enquanto ele se aproxima, e mais grave a partir do momento em que se afasta (após cruzar com o observador). Nas ondas luminosas este fenômeno é observável quando a fonte e o observador se afastam ou se aproximam com grande velocidade relativa. Neste caso, o espectro da luz recebida apresenta desvio para o vermelho (quando se afastam) e desvio para o violeta (quando se aproximam). O efeito Doppler permite a medição da velocidade de objetos através da reflexão de ondas emitidas pelo próprio equipamento de medição, que podem ser radares, baseados em radiofreqüência, ou lasers, que utilizam freqüências luminosas. Muito utilizado para medir a velocidade de automóveis, aviões, bolas de tênis e qualquer outro objeto que cause reflexão, como, na mecânica dos fluidos e na hidráulica, em partículas sólidas dentro de um fluido em escoamento. Na medicina, um ecocardiograma utiliza este efeito para medir a direção e velocidade do fluxo sanguíneo ou do tecido cardíaco. Quando a porta de um supermercado abre-se ao nos aproximarmos, podemos afirmar que ela é operada por uma célula fotoelétrica (Física Quântica), por um amortecedor de pressão (Princípio de Pascal), ou por um detector sonoro sensível a movimento (Efeito Doppler). Além das ondas sonoras, o Efeito Doppler também asoscia-se a todas as ondas do espectro eletromagnético, incluindo microondas, ondas de rádio e luz visível. Em satélites como o Sputnik I, o primeiro satélite terrestre artificial, a comunicação via sinas de rádio é feita através da aplicação do Efeito Doppler. A magnitude de um sinal de deslocamento Doppler depende do componente radial da velocidade do satélite, na posição de recebimento. No centro da Terra, o satélite (supondo uma órbita circular) não tem componente de velocidade radial, de maneira que uma recepção nesta posição não detecta deslocamento Doppler. Uma recepção localizada diretamente na órbita do satélite detecta um deslocamento Doppler máximo, quando o satélite estiver investindo diretamente para esta posição e depois se afastando também diretamente dela. Em pontos intermediários, a magnitude do deslocamento Doppler depende da distância do receptor ao centro da Terra. Usando estas medidas de satélite, o astrônomo George Wallerstein, da Universidade de Washington, foi capaz de medir a altitude do K-2, localizado na fronteira Paquistão-China. Apesar desta medida preliminar indicar a possibilidade de o K-2 ser mais alto do que o Monte Everest, esta conclusão não foi confirmada pelas medidas posteriores e mais precisas realizadas por satélites. Um satélite terrestre liga também trabalhos em direções opostas; satélites especializados americanos e soviéticos localizavam aviões caídos, medindo o efeito Doppler dos sinais emitidos pelo Transmissor Localizador de Emergência (unidades ELT), que a maioria dos aviões particulares possui. Existe, também uma ligação chão a chão; se você for multado por excesso de velocidade, por um policial de carro de patrulha equipado com radar, pode culpar o Efeito Doppler. Este efeito é usado universalmente em Astronomia para determinar os movimentos das estrelas, galáxias, quasars e outros corpos em relação à Terra. De fato, é penoso imaginar quão pouco saberíamos sobre o Universo sem este importante instrumento experimental. A seguir, vamos restringir nossa análise a ondas sonoras, tomando como referencial a massa de ar na qual estas ondas se propagam. Vamos supor que não haja vento, de maneira que este referencial seja idêntico ao referencial fixo em relação à Terra. Além disso, vamos considerar que a fonte S da onda sonora e do detector D desta onda movem-se somente ao longo da linha que os liga. Detector Móvel: Fonte Parada. O detector D investe em direção à fonte estacionária com uma velocidade VD. As frentes de onda são desenhadas como se estivessem distanciadas por um comprimento de onda. Claro, as ondas passam pelo detector com uma razão maior, se este estiver movendo-se em direção à fonte, do que acontece se ele estiver parado, o que é responsável pela frequência maior que a pessoa escuta. Vamos observar o detector num tempo t. Se ele estivesse em repouso, vt/λ ondas passariam neste intervalo de tempo. Devido ao seu movimento, um adicional de VDt/λ deve ser somado a estas ondas. Esta taxa com que o detector recebe as ondas – que é a sua freqüência de recepção – é, então, (1) Para o caso geral da fonte em repouso e o detector móvel, temos, (2). Onde o sinal positivo indica o detector em movimento em direção à fonte e o sinal negativo, o detector afastando-se da fonte. A regra geral para os sinais em todas as Equações Doppler pode ser estabelecida como se segue: Associe a expressão em direção às palavras aumento de frequência. Inversamente, associe as palavras afastando de às palavras diminuição de freqüência. Fonte Móvel: Detector Parado. Agora, o detector está em repouso em relação à massar de ar, mas a fonte se move em sua direção com velocidade Vs. O efeito aqui é um encurtamento do comprimento de onda na direção na qual a fonte se move. Seja T(= 1/v) o período de oscilação da fonte de som. Durante este intervalo, a fonte movimenta-se na direção do detector numa distância VsT ou Vs/v e o comprimento de onda do som chegando ao detector não é u/v, mas u/v – Vs/v. A frequência ouvida pelo detector é, então, (3) Para o caso geral da fonte móvel e o detector parado, temos (4)

Fonte e Detector, Ambos Móveis. Podemos combinar as equações 2 e 4 para produzir a equação do Efeito Doppler geral, na qual ambos, fonte e detector, estão se movendo em relação à massa de ar. Substituindo o v na equação 4 (a freqüência da fonte) por v´da equação 2 (a freqüência associada ao movimento do detector), chegamos a (5) Fazendo Vs=0 na equação 5, reduz-se a equação 2 e fazendo VD=0, chegamos a equação 4, como esperávamos. Existem quatro combinações possíveis de sinais na equação 5.

O Efeito Doppler para Pequenas Velocidades. O Efeito Doppler para um detector em movimento (equação 2) e para uma fonte também em movimento (equação 4) são diferentes, mesmo que o detector e a fonte possam mover-se com a mesma velocidade. Entretanto, se as velocidades forem suficientemente pequenas os deslocamentos da freqüência produzidos por estes movimentos será basicamente o mesmo. Usando o Teorema Binomial, podemos mostrar que a eq 5 pode ser escrita na forma . As regras para os sinais permanecem as mesmas. Velocidades supersônicas. Se a fonte está se movendo em direção a um detector estacionário, com uma velocidade igual à velocidade do som, isto é, Vs= v, a equação 2 prediz que a freqüência percebida v´ será infinitamente grande. Isto significa que a fonte está se afastando tão rapidamente que mantém o passo com as suas próprias frentes de onda.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

TIPLER, P. A. – Física para cientistas e engenheiros, v.1: Mecânica, oscilações e ondas, termodinâmica / Paul A. Tipler, Gene Mosca ; tradução Fernando Ribeiro da Silva, Gisele Maria Vieira. – 5ª ed. - Rio de Janeiro : LTC, 2006.

HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER J. – Fundamentos de física, v.2 : gravitação, ondas e termodinâmica; tradução Flávio Menezes de Aguiar, José Wellington Rocha Tabosa. – 7ª Ed. - Rio de Janeiro : LTC, 2006.