Monografia Final - Histórico de revisão

Ana: /* Aceitação e Rejeição de Monte Carlo */

2010-11-06T15:25:10Z

Aceitação e Rejeição de Monte Carlo

Ana: /* Referências */

2010-11-06T15:10:18Z

Referências

Ana: /* Teste de Autocorrelação */

2010-11-06T15:08:53Z

Teste de Autocorrelação

Ana: /* Considerações Sobre os Testes */

2010-11-06T14:40:31Z

Considerações Sobre os Testes

Ana: /* Teste do Qui quadrado */

2010-11-06T14:40:07Z

Teste do Qui quadrado

Ana: /* Teste Kolmogorov-Smirnov */

2010-11-06T14:35:23Z

Teste Kolmogorov-Smirnov

Ana: /* Geradores Lineares (Congruentes) */

2010-11-06T12:02:38Z

Geradores Lineares (Congruentes)

Ana: /* Geradores Lineares (Congruentes) */

2010-11-06T12:02:06Z

Geradores Lineares (Congruentes)

Ana: /* Geradores Lineares (Congruentes) */

2010-11-06T12:00:15Z

Geradores Lineares (Congruentes)

Ana: /* Geradores Lineares (Congruentes) */

2010-11-06T11:53:58Z

Geradores Lineares (Congruentes)

← Versão anterior		Edição de 15h25min de 6 de novembro de 2010
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	<math>I = \int\limits_{a}^{b} f(x) dx \approx \frac{k}{N} M (b-a)</math>		<math>I = \int\limits_{a}^{b} f(x) dx \approx \frac{k}{N} M (b-a)</math>
		+
	Sendo k o número de amostras bem sucessividades, N o número de tentativas, M é a área do retângulo feito.		Sendo k o número de amostras bem sucessividades, N o número de tentativas, M é a área do retângulo feito.

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 =Referências=
-BANKS, J.; CARSON II, J.S.; NELSON, B.L. '''Discrete event system simulation'''. 4.ed. New Jersey: Prentice Hall, 2005.
+*BANKS, J.; CARSON II, J.S.; NELSON, B.L. '''Discrete event system simulation'''. 4.ed. New Jersey: Prentice Hall, 2005.
-BARROS, Emílio A. C.. '''Aplicações de Simulação Monte Carlo e Bootstrap'''. 2005, 52 f. Monografia (Bacharelado em Estatística) – Departamento Acadêmico de Estatística, Universidade Estadual de Maringá, Maringá, 2005. Disponível em <http://www.des.uem.br/graduacao/Monografias/Monografia_Emilio.pdf>. Acesso em  05 set. 2010.
+*BARROS, Emílio A. C.. '''Aplicações de Simulação Monte Carlo e Bootstrap'''. 2005, 52 f. Monografia (Bacharelado em Estatística) – Departamento Acadêmico de Estatística, Universidade Estadual de Maringá, Maringá, 2005. Disponível em <http://www.des.uem.br/graduacao/Monografias/Monografia_Emilio.pdf>. Acesso em  05 set. 2010.
-ECKHARDT, Roger. '''Stan Ulam, John von Neumann, and The Monte Carlo Method'''. Los Alamos Science, Los Alamos, no. 15, p. 131-137, 1987. Disponível em: < http://library.lanl.gov/cgi-bin/getfile?15-13.pdf >. Acesso em: 05 set. 2010.
+*ECKHARDT, Roger. '''Stan Ulam, John von Neumann, and The Monte Carlo Method'''. Los Alamos Science, Los Alamos, no. 15, p. 131-137, 1987. Disponível em: < http://library.lanl.gov/cgi-bin/getfile?15-13.pdf >. Acesso em: 05 set. 2010.
-FREITAS FILHO, Paulo José de. '''Introdução à modelagem e simulação de sistemas: com aplicações em Arena'''. 2. ed. Florianópolis: Visual Books, 2001.
+*FREITAS FILHO, Paulo José de. '''Introdução à modelagem e simulação de sistemas: com aplicações em Arena'''. 2. ed. Florianópolis: Visual Books, 2001.
-LAW, A.M.; KELTON, W.D. '''Simulation modeling and analysis'''. 3. ed. Boston: McGraw-Hill, 2000.
+*LAW, A.M.; KELTON, W.D. '''Simulation modeling and analysis'''. 3. ed. Boston: McGraw-Hill, 2000.
-LAWRENCE, Denis. Note on Monte Carlo Analysis. Apresentado na Comissão de Comércio, Wellington, Nova Zelândia, 2004. Disponível em < http://www.med.govt.nz/upload/16173/meyrick-monte-carlo.pdf > acesso em 30 de outubro de 2010.
+*LAWRENCE, Denis. Note on Monte Carlo Analysis. Apresentado na Comissão de Comércio, Wellington, Nova Zelândia, 2004. Disponível em < http://www.med.govt.nz/upload/16173/meyrick-monte-carlo.pdf > acesso em 30 de outubro de 2010.
-MACHLINE, Claude, MOTTA, Ivan de Sá, SCHOEPS, Wolfgang, WEIL, Kurt E. '''Manual de Administração da Produção''', Vol. II. Rio de Janeiro: Fundação Getúlio Vargas,1985.
+*MACHLINE, Claude, MOTTA, Ivan de Sá, SCHOEPS, Wolfgang, WEIL, Kurt E. '''Manual de Administração da Produção''', Vol. II. Rio de Janeiro: Fundação Getúlio Vargas,1985.
-METROPOLIS, Nicholas; Ulam, S. '''The Monte Carlo Method'''. Journal of the American Statistical Association, vol. 44, No. 247 (Sep. 1949), pp. 335-341.
+*METROPOLIS, Nicholas; Ulam, S. '''The Monte Carlo Method'''. Journal of the American Statistical Association, vol. 44, No. 247 (Sep. 1949), pp. 335-341.
-______. '''The Beginning of The Monte Carlo Method'''. Los Alamos Science, Los Alamos, no. 15, p. 125-130, 1987. Disponível em: <http://library.lanl.gov/cgi-bin/getfile?15-12.pdf>. Acesso em: 05 set. 2010.
+*______. '''The Beginning of The Monte Carlo Method'''. Los Alamos Science, Los Alamos, no. 15, p. 125-130, 1987. Disponível em: <http://library.lanl.gov/cgi-bin/getfile?15-12.pdf>. Acesso em: 05 set. 2010.
-PENGELLY, Jonathan. '''Monte Carlo Methods'''. Disponível em <http://www.cs.otago.ac.nz/cosc453/student_tutorials/monte_carlo.pdf>. Acesso em 20 de setembro de 2010.
+*PENGELLY, Jonathan. '''Monte Carlo Methods'''. Disponível em <http://www.cs.otago.ac.nz/cosc453/student_tutorials/monte_carlo.pdf>. Acesso em 20 de setembro de 2010.
-PRADO, Darci Santos do. '''Teoria das filas e da simulação'''. 4. ed. Belo Horizonte: Editora de Desenvolvimento Gerencial, 2009.
+*PRADO, Darci Santos do. '''Teoria das filas e da simulação'''. 4. ed. Belo Horizonte: Editora de Desenvolvimento Gerencial, 2009.
-ROSA, Fernando H. F. P. da; COSTA, Matheus Moreira; TORTELLA, Tiago Luiz; JUNIOR, Vagner Aparecido. '''Método de Monte Carlo e Aproximações de PI'''. Disponível em < http://www.feferraz.net/files/lista/montecarlopi.pdf >. Acesso em 05 set. 2010.
+*ROSA, Fernando H. F. P. da; COSTA, Matheus Moreira; TORTELLA, Tiago Luiz; JUNIOR, Vagner Aparecido. '''Método de Monte Carlo e Aproximações de PI'''. Disponível em < http://www.feferraz.net/files/lista/montecarlopi.pdf >. Acesso em 05 set. 2010.
-TAHA, Hamdy A. '''Operations research: an introduction'''. 6.ed. Upper Saddle River: Prentice Hall, c1997.
+*TAHA, Hamdy A. '''Operations research: an introduction'''. 6.ed. Upper Saddle River: Prentice Hall, c1997.
-WARNOCK, Tony. '''Random-Number Generators'''. Los Alamos Science, Los Alamos, no. 15, p. 137-141, 1987. Disponível em:  <http://library.lanl.gov/cgi-bin/getfile?00418729.pdf>. Acesso em: 05 set. 2010.
+*WARNOCK, Tony. '''Random-Number Generators'''. Los Alamos Science, Los Alamos, no. 15, p. 137-141, 1987. Disponível em:  <http://library.lanl.gov/cgi-bin/getfile?00418729.pdf>. Acesso em: 05 set. 2010.

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 O teste requer computação de autocorrelação cada m números (m também conhecido como lag, será chamado de intervalo m a partir daqui), começando pelo i-ésimo número. Portanto autocorrelação entre os seguintes números é de interesse:
- Inserir fórmula.
+<math>R_i,\ R_{i+m},\ R_{i+2m},\ ...,\ R_{i+(M+1)m}</math>
-O valor M é o maior número inteiro possível tal que i + (M+1)m <= N, onde N é o número total de valores na sequência. Caso a autocorrelação seja diferente de zero, isso implicaria que há uma falta de independência, portanto o seguinte teste de hipótese é apropriado:
+O valor M é o maior número inteiro possível tal que <math>i + (M+1)m \le N</math>, onde N é o número total de valores na sequência. Caso a autocorrelação seja diferente de zero, isso implicaria que há uma falta de independência, portanto o seguinte teste de hipótese é apropriado:
- Inserir fórmula.
+<math>H_0 : \rho_{im}\ = 0</math>
- Inserir fórmula.
+<math>H_1 : \rho_{im} \ne 0</math>
-Para valores muito altos de M, a distribuição do estimador de
+Para valores muito altos de M, a distribuição do estimador de <math>\rho_im</math>, denotado de<math>\hat{\rho}_{im}</math>  é aproximadamente normal se os valores de <math>R_i,\ R_{i+m},\ R_{i+2m},\ ...,\ R_{i+(M+1)m}</math> são independentes. Portanto, o seguinte teste estatístico pode ser feito:
- Inserir fórmula.
+<math>Z_0 = \frac {\hat{\rho}_{im}}{\sigma_{\hat{\rho}_{im}}}</math>
-, denotado de
+Onde <math>Z_0</math> é distribuído de forma normal com variância igual a 1, sob a suposição de independência para um M muito grande. As fórmulas de <math>\hat{\rho}_{im}</math> e desvio padrão de <math>\hat{\rho}_{im}</math> são dadas por Schmidt e Taylor [1970] conforme seguem:
- Inserir fórmula.
+<math>\hat{\rho}_{im} = \frac{1}{M+1} ( \sum_{k=0}^{M} R_{i+km} * R_{i+(k+1)m}) - 0.25</math>
-−
-é aproximadamente normal se os valores de
-−
- Inserir fórmula.
-−
-são independentes. Portanto, o seguinte teste estatístico pode ser feito:
-−
- Inserir fórmula.
-−
-Onde Zo é distribuído de forma normal com variância igual a 1, sob a suposição de independência para um M muito grande. As fórmulas de
-−
- Inserir fórmula.
-−
-e desvio padrão de
-−
- Inserir fórmula.
-−
-são dadas por Schmidt e Taylor [1970] conforme seguem:
-−
- Inserir fórmula.
+e
- Inserir fórmula.
+<math>\sigma_{\hat{\rho}_{im}} = \frac{\sqrt{13M + 7}}{12(M+1)}</math>
-−
-Após computar-se Zo, não se rejeita a hipótese Ho de que os números são independentes se
-−
- Inserir fórmula.
-−
-onde alfa é o nível de significância e
-−
- Inserir fórmula.
-−
-é obtido da tabela presente nos Anexos.
-−
-Se
-−
- Inserir fórmula.
-−
-isso significaria uma autocorrelação positiva, onde a cada valor sucessivo (obtido a partir do intervalo m) há uma probabilidade maior do que a esperada de se obter valores próximos um do outro (um valor muito alto seguido de outro ou valor muito baixo seguido do outro).
-−
-Caso
- Inserir fórmula.
+Após computar-se <math>Z_0</math>, não se rejeita a hipótese <math>H_0</math> de que os números são independentes se
-isso significaria uma autocorrelação negativa, onde há uma alternância de valores altos e baixos a cada intervalo m.
+<math>-Z_{\alpha/2} \le Z_0 \le Z_{\alpha/2} </math> onde alfa é o nível de significância e <math>Z_{\alpha/2} </math> é obtido da tabela presente nos Anexos.
-Caso
+Se <math>\rho_{im} > 0</math> isso significaria uma autocorrelação positiva, onde a cada valor sucessivo (obtido a partir do intervalo m) há uma probabilidade maior do que a esperada de se obter valores próximos um do outro (um valor muito alto seguido de outro ou valor muito baixo seguido do outro).
- Inserir fórmula.
+Caso <math>\rho_{im} < 0</math> isso significaria uma autocorrelação negativa, onde há uma alternância de valores altos e baixos a cada intervalo m.
-significaria que obtivemos independência nos números analisados a cada intervalo m.
+Caso <math>\rho_{im} = 0</math> significaria que obtivemos independência nos números analisados a cada intervalo m.
 =Considerações Finais=

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 ===Considerações Sobre os Testes===
-No teste do qui quadrado é recomendado escolher n e N tal que cada Ei seja maior ou igual a 5.
+No teste do qui quadrado é recomendado escolher n e N tal que cada <math>E_i</math> seja maior ou igual a 5.
 *Tanto o teste de Kolmogorov-Smirnov e o teste do qui quadrado são aceitáveis para se testar uniformidade contanto que o tamanho da amostra seja grande.

@@ Linha 250: / Linha 250: @@
 O teste do qui quadrado usa a amostra estatística:
- Inserir fórmula.
+<math>X_0^2 = \sum_{i=1}^{n} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}</math>
-onde Oi é o número observado no i-ésima ensaio e Ei é o número esperado da i-ésima ensaio e n é o número de ensaios. Para uma distribuição uniforme o número esperado Ei em cada ensaio é dado por:
+onde <math>O_i</math> é o número observado no i-ésima ensaio e <math>E_i</math> é o número esperado da i-ésima ensaio e n é o número de ensaios. Para uma distribuição uniforme o número esperado <math>E_i</math> em cada ensaio é dado por:
- Inserir fórmula.
+<math>E_i = \frac{N}{n}</math>
-Onde N é o número de observações e n o número de ensaios. A partir destas informações pode-se demonstrar que a distribuição da amostra de
+Onde N é o número de observações e n o número de ensaios. A partir destas informações pode-se demonstrar que a distribuição da amostra de <math>X_0^2</math> é aproximadamente uma distribuição qui quadrado n-1 graus de liberdade. Observação: Um ensaio pode ser equivalente a um certo número de observações. Exemplo: n = 10 (10 observações equivalem a 1 ensaio).
- Inserir fórmula.
+Após obtido o valor de <math>X_0^2</math> compara-se com os valores da tabela do qui quadrado. Caso o <math>X_0^2</math> obtido seja menor, a hipótese de que se trata de uma distribuição uniforme não é rejeitada.
-−
-é aproximadamente uma distribuição qui quadrado n-1 graus de liberdade. Observação: Um ensaio pode ser equivalente a um certo número de observações. Exemplo: n = 10 (10 observações equivalem a 1 ensaio).
-−
 Após obtido o valor de
-−
- Inserir fórmula.
-−
 compara-se com os valores da tabela do qui quadrado Caso o
-−
- Inserir fórmula.
-−
 obtido seja menor, a hipótese de que se trata de uma distribuição uniforme não é rejeitada.
 ===Considerações Sobre os Testes===

@@ Linha 218: / Linha 218: @@
 Este teste compara a função contínua e uniformemente distribuída F(x)com a função empírica Sn(x) obtida das amostras de N observações. Por definição:
- Inserir fórmula.
+<math>F(x) = x; 0 \le x \le 1</math>
-Se a amostra dos números gerados é R1,R2,...,Rn, então a função empírica Sn(x) pode ser definida por:
+Se a amostra dos números gerados é <math>R_1, R_2, ..., Rn</math>, então a função empírica Sn(x) pode ser definida por:
- Inserir fórmula.
+<math>Sn(x) = \frac{n\acute{u}meros\ de\ R_1, R_2, ..., R_n\ que\ s\tilde{a}o\ \le x}{N}</math>
 Conforme N aumenta, Sn(x) deve se tornar uma aproximação melhor de F(x), contanto que a hipótese de que a uniformidade exista seja verdadeira. O teste de Kolmogrov-Smirnov é baseado na maior diferença entre F(x) e Sn(x). Ou seja:
- Inserir fórmula.
+<math> D = \mid F(x) - Sn(x) \mid</math>
 Esse valor é então tabelado em função de N na tabela de Kolmogrov-Smirnov. Para testar a uniformidade de uma função, seguem-se as seguintes etapas:
-*Etapa 1: Arrumam-se os valores obtidos em ordem crescente, sendo que o valor R(i) denotará sempre o menor i-ésimo valor das observações:
+*Etapa 1: Arrumam-se os valores obtidos em ordem crescente, sendo que o valor <math>R_(i)</math> denotará sempre o menor i-ésimo valor das observações:
- Inserir fórmula.
+<math>R_1 \le R_2 \le ... \le R_n</math>
 *Etapa 2: Computa-se:
- Inserir fórmula.
+<math>D+ = max(1 \le i \le N) \left \{ \frac{i}{n} - R_{i} \right \}</math>
- Inserir fórmula.
+<math>D- = max(1 \le i \le N) \left \{ R_{i} - \frac{i-1}{N} \right \}</math>
-*Etapa 3: Computar
+*Etapa 3: Computar <math>D = max(D+;D-)</math>.
- Inserir fórmula.
+*Etapa 4: Localizar na tabela o valor critico de <math>D_\alpha</math> para o nível específico de significância alfa e o tamanho da amostra N.
-*Etapa 4: Localizar na tabela o valor critico de D(alfa) para o nível específico de significância alfa e o tamanho da amostra N.
+*Etapa 5: Se a amostra estatística D é maior que o valor crítico <math>D_\alpha</math> então a hipótese de que a amostra provém de uma distribuição uniforme é rejeitada. Se <math>D \le \alpha</math> então conclui-se que não detectou-se diferenças entre a distribuição da amostra e a distribuição uniforme desejada.
-−
-*Etapa 5: Se a amostra estatística D é maior que o valor crítico D(alfa) então a hipótese de que a amostra provém de uma distribuição uniforme é rejeitada. Se D<= D(alfa) então conclui-se que não detectou-se diferenças entre a distribuição da amostra e a distribuição uniforme desejada.
 ===Teste do Qui quadrado===

@@ Linha 204: / Linha 204: @@
 onde: xn = é o enésimo membro da seqüência A, C, M = são parâmetros que podem ser ajustados por conveniência e para assegurar a natureza pseudo-aleatória da seqüência.
-Por exemplo: M, o módulo, é freqüentemente o tamanho de uma palavra no computador e A, o multiplicador, é escolhido para produzir um longo período de seqüência e boas propriedades estatísticas. Exemplo prático: <math>x_0</math> = 13, A = 21, C = 1, M = 32 Seqüência produzida: 13, 18, 24, 25, 14, 7, 20, 5, 10...
+Por exemplo: M, o módulo, é freqüentemente o tamanho de uma palavra no computador e A, o multiplicador, é escolhido para produzir um longo período de seqüência e boas propriedades estatísticas.
 ==Testando Geradores de Números aleatórios==

@@ Linha 200: / Linha 200: @@
 Outro tipo de gerador é gerador de Lehmer. A seqüência é definida numa coleção de inteiros através da fórmula de recursão:
-<math>x_{n+1} = (Ax_n + C)(mod M)</math>
+<math>x_{n+1} = (Ax_n + C)(mod\ M)</math>
 onde: xn = é o enésimo membro da seqüência A, C, M = são parâmetros que podem ser ajustados por conveniência e para assegurar a natureza pseudo-aleatória da seqüência.
-Por exemplo: M, o módulo, é freqüentemente o tamanho de uma palavra no computador e A, o multiplicador, é escolhido para produzir um longo período de seqüência e boas propriedades estatísticas. Exemplo prático: x0 = 13, A = 21, C = 1, M = 32 Seqüência produzida: 13, 18, 24, 25, 14, 7, 20, 5, 10...
+Por exemplo: M, o módulo, é freqüentemente o tamanho de uma palavra no computador e A, o multiplicador, é escolhido para produzir um longo período de seqüência e boas propriedades estatísticas. Exemplo prático: <math>x_0</math> = 13, A = 21, C = 1, M = 32 Seqüência produzida: 13, 18, 24, 25, 14, 7, 20, 5, 10...
 ==Testando Geradores de Números aleatórios==

@@ Linha 185: / Linha 185: @@
 em que mod é o operador de resto.
-O número inteiro gerado é obtido pela parte não inteira da divisão
+O número inteiro gerado é obtido pela parte não inteira da divisão:
 <math>\frac{\beta * s_{i-1}}{\alpha}</math>
-Definir parâmetros alfa e beta que gerem números aleatórios para quaisquer sementes é difícil. Uma regra geral é a de que beta não pode ser divisível por alfa, evitando-se assim que si = 0.
+Definir parâmetros alfa e beta que gerem números aleatórios para quaisquer sementes é difícil. Uma regra geral é a de que beta não pode ser divisível por alfa, evitando-se assim que <math>s_i = 0</math>.
-Nota-se também que o menor i para o qual si = s0 equivale ao período da seqüência.
+Nota-se também que o menor i para o qual <math>s_i = s_0</math> equivale ao período da seqüência.
 Usualmente, os métodos de congruência utilizam regras de atualização conforme equação abaixo, nas quais alfa, beta, gama e teta são parâmetros inteiros.
- Inserir fórmula.
+<math>s_i = (\theta * s_{i-1} + \gamma * s_{i-1} + \beta)\ mod\ \alpha </math>
 Outro tipo de gerador é gerador de Lehmer. A seqüência é definida numa coleção de inteiros através da fórmula de recursão:
- Inserir fórmula.
+<math>x_{n+1} = (Ax_n + C)(mod M)</math>
-−
 onde: xn = é o enésimo membro da seqüência A, C, M = são parâmetros que podem ser ajustados por conveniência e para assegurar a natureza pseudo-aleatória da seqüência.